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Relação entre área e base de um triângulo

 


Sejam $C$, $D$ e $A$ três pontos colineares distintos. Dado que $\triangle BCD$ e $\triangle BDA$ possuem a mesma altura $h$, temos que:

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\triangle BCD}{\triangle BDA} = \frac{\frac{x\cdot h}{2}}{\frac{y\cdot h}{2}}= \frac{x}{y}$

Assim,  $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{x}{y}$

A mediana, além de dividir o lado, divide também a área ao meio.


$\frac{S_{1}}{x}=\frac{S_{2}}{x} \rightarrow S_{1}=S_{2}$
 

Demostração do teorema de Ceva utilizando relações entre áreas


$X = S_{APB}$          $Y = S_{BPC}$          $Z = S_{CPA}$


$(1) \rightarrow \frac{AG}{GB} = \frac{S_{CPA}}{S_{BPC}}= \frac{Z}{Y} $

$(2) \rightarrow \frac{BE}{EC} = \frac{S_{APB}}{S_{CPA}}= \frac{X}{Z}$

$(3) \rightarrow \frac{CF}{FA} = \frac{S_{BPC}}{S_{APB}}= \frac{Y}{X}$


Efetuando as multiplicações, membro a membro, das relações (1), (2) e (3), temos:

$\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=\frac{Z}{Y}\cdot \frac{X}{Z}\cdot \frac{Y}{X}$

Assim obtemos a expressão desejada

$\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}= 1$

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O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior emenor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco.

Resolução:
Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo.

Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais.
Logo, o diâmetro será:
Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm
E como o raio é igual a  Diâmetro/2,temos:
Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro.

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Resolução:
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Resposta:

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Resolução:
A medida do raio a ser encontrado é do seguinte tronco de cilindro:

Assim, o raio r, usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é: 

Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm