Sequência de Fibonacci no Triângulo de Pascal

Observando o triângulo de Pascal, que se trata de uma disposição geométrica dos números binomiais, quando se estuda o Binômio de Newton, percebe-se que a sequência de Fibonacci pode ser obtida somando os elementos das diagonais do referido triângulo. Isto pode ser observado na imagem abaixo.

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Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 10 cm, contém um certo volume de água. Inclinando o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual é o volume da água contida no copo? Cilindro inclinado Resolução: O volume da água é o volume do seguinte tronco de cilindro circular reto de base circular: Tronco de cilindro de raio 3 cm Esse tronco é equivalente ao seguinte cilindro circular reto: Cilindro circular reto de raio 3 cm Logo, o volume V do tronco é: Resposta:

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U. E. Londrina-PR - Dois recipiente cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até $\frac{1}{5}$ de sua capacidade. Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h , de: a) 32 cm b) 24 cm c) 16 cm d) 12 cm e) 10 cm Solução: Como sabemos que as alturas são 40 cm e o raio do maior mede 10 cm, primeiro iremos encontrar $\frac{1}{5}$ de seu volume e em seguida, com o valor obtido, igualaremos a fórmula do volume no segundo para encontrar h. Assim temos: $\frac{1}{5}\cdot \pi r^{2} = \frac{1}{5}\cdot 10^{2}\cdot 40 \pi= \frac{1}{5}\cdot 4000 \pi = 800 \pi$ O maior contém $800 cm^{3}$ de água. Igualando este valor no recipente menor, vamos ter: $\pi r^{2} h=800\pi \rightarrow 5^{2}h=800 \rightarrow 25h=800\rightarrow h=\frac{800}{25} \rightarrow h = 32$ Resposta: A água despejada no recipiente menor alcança uma altura de 32 cm. letra a)

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um plano β intercepta todas as geratrizes de um cilindro circular reto e forma com o plano α de uma base do cilindro um ângulo de 45° (conforme figura). Cilindro seccionado por um plano O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior e menor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco. Resolução: Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo. Vista lateral de um cilindro seccionado por um plano Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais. Semelhança de triângulo Logo, o diâmetro será: Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm E como o raio é igual a Diâmetro/2 , temos: Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro. Tronco de cilindro de raio 2 cm

Phi ao Quadrad$\phi ^{2}$

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