Phi ao Quadrad$\phi ^{2}$

Objetiva-2019 | Supondo-se que certa pizza no formato circular com perímetro de 94,2cm foi cortada em três pedaços de mesmo tamanho cada. Sendo assim, assinalar a alternativa que apresenta a área de cada pedaço dessa pizza: (Usar π = 3,14)
A) $31,4cm^{2}$     B) $188,4cm^{2}$     C) $235,5cm^{2}$     D) $376,8cm^{2}$

Solução:
Primeiro, utilizando a fórmula do perímetro de uma circunferência, vamos encontrar o raio da pizza.
$2\pi r = perímetro$ $2\pi r = 94,2$ $r = \frac{94,2}{2\pi }$ $r = \frac{47,1}{\pi }cm$
Agora que encontramos o valor do raio, vamos aplicá-lo na fórmula da área da circunferência. Assim temos: 
$A = \pi r^{2}$ $A = \pi \left ( \frac{47,1}{\pi } \right )^{2}$ $A = \pi\cdot \frac{2218,41}{\pi ^{2}}$
$Area = \frac{2218,41}{\pi}cm^{2}$
Dividindo a área por 3, já que ela foi dividida em três partes iguais, cada pedaço tem área igual a:
$\frac{\frac{2218,41}{\pi}}{3} = \frac{2218,41}{\pi }\cdot \frac{1}{3} = \frac{2218,41}{3\pi }cm^{2}$
Como a questão pediu para usar $\pi = 3,14$, vam…

A sequência de Fibonacci é a série de números:  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. 
Como o φ é meu número preferido, gosto de matemática e também sempre admirei as pinturas, fiz algumas artes 😊🎨 com o espiral que é formado pela sequência de Fibonacci com o auxílio do GeoGebra.


Artes com o Espiral de Fibonacci - Amóes Xavier

Por representar a divina proporção, a Sequência de Fibonacci é muito utilizada no design, na arte, na arquitetura, no tamanho dos cartões de créditos, das caixas de cigarro e dos outdoors.  Curiosamente, o número de ouro está inserido em tudo que podemos imaginar: seres humanos, músicas, natureza, arquitetura, etc. Veja algumas pinturas desta bela sequência na forma de espiral.









Fonte: Etsy

O uso da proporção áurea no design pode ser múltiplo: basta tomar as proporções equilibradas de um retângulo dourado, usar uma espiral dourada, usar os números da sequência de Fibonacci para o tamanho dos elementos, ou até pegar o ângulo de ouro, por exemplo. Para alguns, a proporção áurea é o segredo para um design bem-sucedido, equilibrado e proporcional.

Observando o triângulo de Pascal, que se trata de uma disposição geométrica dos números binomiais, quando se estuda o Binômio de Newton, percebe-se que a sequência de Fibonacci pode ser obtida somando os elementos das diagonais do referido triângulo. Isto pode ser observado na imagem abaixo.

O design aprendeu a proporção áurea para usar suas "proporções divinas", na busca de uma estética perfeita e ideal, agradável aos olhos dos homens. Veja  excelentes logotipos com base na proporção áurea.
National Geographic logo

Logotipo da Apple

Logotipo da Pepsi

Fonte: future-creative

Este retângulo é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro 1,618.
Vamos lá. Para construir um segmento de comprimento da proporção áurea, começamos desenhando um triângulo retângulo ABC em A cujos lados do ângulo reto medem 1 e $\frac{1}{2}$. Em seguida, transferimos o comprimento da hipotenusa para a metade direita CD | veja a figura abaixo |. É fácil demonstrar, usando o teorema de Pitágoras, que a hipotenusa BC mede $\frac{\sqrt{5}}{2}$ e, portanto, o comprimento AD do retângulo ABED é igual à proporção áurea. 

Este retângulo é um retângulo dourado

FUNESP - 2020 - FITO - Analista de Gestão - Biblioteca | O polígono AVEQP da figura representa um terreno e não está desenhado em escala. O triângulo EVA é retângulo em V e o quadrilátero EAPQ é um retângulo. As medidas de EV e VA são, respectivamente, iguais a 48 m e 20 m.                                                      
Se a medida do lado AP é igual a 75 m, então a área do terreno em m2 é igual a
a) 4380       b) 4575      c) 5050      d) 5275      e) 6125


Solução:



A área do terreno é a soma da área do triângulo mais a área do retângulo.
Calculando a área do triângulo temos: $A_{tr} = \frac{48\cdot 20}{2}=48 \cdot 10 = 480m^{2}$
Como a altura do retângulo coincide com a hipotenusa do triângulo, Vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar $h$.
$h^{2}= 48^{2}+20^{2}\rightarrow h^{2}=2704\rightarrow h=\sqrt{2704}\rightarrow h = 52$
Logo, a área do terreno é:
$A_{terreno} = 480 + 75\cdot 52 = 480 + 3900 = 4380$

Resposta: A área do terreno é de $4380m^{2}$