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Um cilindro é equivalente - mesmo volume - a uma pirâmide regular de base quadrada. O raio da circunferência... Resposta comentada

PUC-SP Um cilindro é equivalente - mesmo volume - a uma pirâmide regular de base quadrada. O raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$. Sabendo-se que o cilindro e a pirâmide têm alturas iguais, então o raio da base do cilindro é:

a) $\pi$      b) $\frac{\pi }{2}$     c) 1       d) $\frac{1}{2}$      e) Nenhuma das anteriores está correta


Solução:

Pirâmide e cilindro de alturas iguais
O Volume da pirâmide é $V_{p}=\frac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h$. A área da base $A_{b}$  é o lado ao quadrado $l^{2}$. Como o raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$, o lado mede $2\frac{\sqrt{3\pi }}{2}\rightarrow l=\sqrt{3\pi }$ 

Assim, sabendo que a pirâmide e o cilindro tem volume e alturas iguais, vamos ter:

$\pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}A_{b}\cdot h$
$\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot l^{2} \cdot h$
 $\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\sqrt{3\pi }^{2} \cdot h$ 
$\rightarrow \pi r^{2}=\frac{1}{3}\cdot 3\pi$ 
$\rightarrow r^{2}=1$
$\rightarrow r=\sqrt{1}$
$\rightarrow r=1$


Resposta: O raio da base do cilindro é igual a 1. letra c

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O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior emenor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco.

Resolução:
Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo.

Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais.
Logo, o diâmetro será:
Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm
E como o raio é igual a  Diâmetro/2,temos:
Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro.

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Resolução:
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Resposta:

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Resolução:
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Assim, o raio r, usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é: 

Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm