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O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro... Resposta comentada

ITA - SP | O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo de cilindro. Então, a área total do cilindro, em $m^{2}$, vale:

a) $\frac{3\pi ^{2}}{4}$        b) $\frac{9\pi \left ( 2 + \pi  \right )}{4}$     c) $\pi \left ( 2 + \pi  \right )$        d) $\frac{\pi ^{2}}{2}$      e)$\frac{3\pi \left ( \pi + 1 \right )}{2}$


Solução:

cilindro seccionado por um plano


A área da secção é dada por base x altura. A base b da secção é igual ao diâmetro d do cilindro. Logo, $A_{sec}= b\cdot h = d\cdot h = 3h$

Como a área da secção é igual a área da base do cilindro, vamos igualar as duas para encontrar o valor de h. Em seguida colocaremos o valor encontrado na fórmula da área total do cilindro. Assim temos: 

 

A área total é:

$A_{total} = A_{lateral} + 2A_{base}$
$\rightarrow A_{t} = 2\pi r\cdot h + 2 \cdot \pi r^{2}$ 
$\rightarrow A_{t} = 2\pi \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{4}\pi + 2\pi \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}$
$\rightarrow A_{t} = \frac{9\pi^{2}}{4} +   \frac{9\pi }{2}$
$\rightarrow A_{t} = \frac{9\pi ^{2}+ 18\pi }{4}$
$\rightarrow \mathbf{A_{t} = \frac{9\pi \left ( 2 + \pi  \right )}{4}}$


Resposta: A érea total é igual a    letra b)

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O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior emenor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco.

Resolução:
Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo.

Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais.
Logo, o diâmetro será:
Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm
E como o raio é igual a  Diâmetro/2,temos:
Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro.

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Resolução:
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Logo, o volume V do tronco é:


Resposta:

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Resolução:
A medida do raio a ser encontrado é do seguinte tronco de cilindro:

Assim, o raio r, usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é: 

Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm