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Na figura ao lado, a resta do cubo maior mede $a$, e os outros cubos foram construídos de modo que a medida... Resposta comentada

Infinitos cubos 

U. E. Londrina PR | Na figura ao
 lado, a aresta do cubo maior mede $a$, e os outros cubos foram construídos de modo que a medida da respectiva aresta seja a metade da aresta do cubo anterior. Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma dos volumes de todos os cubos será: 

a) $0$       b) $\frac{a^{3}}{2}$         c) $\frac{7a^{3}}{8}$        d)$\frac{8a^{3}}{7}$       e)$2a^{^{3}}$

Solução:

Encontrando os volumes dos primeiros cubos, vamos ter:

1º $a^{^{3}}$
2º $\left ( \frac{a}{2} \right )^{3} = \frac{a^{3}}{8}$
3º $\left ( \frac{a}{4} \right )^{3} = \frac{a^{3}}{64}$
4º $\left ( \frac{a}{8} \right )^{3} = \frac{a^{3}}{512}$
.
.
.

Percebemos que se trata de uma P. G. decrescente. Para encontrar o volume pedido, iremos recorrer a fórmula da soma de uma P.G. infinita que é $S_{\infty }=\frac{a_{1}}{1 -q}$, onde $a_{1} = a^{3}$ Mas antes precisamos encontrar a razão $q$. Para isto iremos dividir o segundo termo pelo primeiro. Assim, temos:


$q =\frac{\frac{a^{3}}{8}}{a^{3}} = \frac{a^{3}}{8}\cdot \frac{1}{a^{3}}=\frac{1}{8} \rightarrow q = \frac{1}{8}$ Logo:

$S_{\infty }=\frac{a_{1}}{1 -q}= \frac{a^{3}}{1-\frac{1}{8}} = \frac{a^{3}}{\frac{7}{8}}= a^{3}\cdot \frac{8}{7}=\frac{8a^{3}}{7}$

Resposta: A soma dos volumes de todos os cubos é $\frac{8a^{3}}{7}$ letra d)





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O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior emenor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco.

Resolução:
Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo.

Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais.
Logo, o diâmetro será:
Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm
E como o raio é igual a  Diâmetro/2,temos:
Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro.

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 10 cm, contém um certo volume de água. Inclinando o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual é o volume da água contida no copo?


Resolução:
O volume da água é o volume do seguinte tronco de cilindro circular reto de base circular:

Esse tronco é equivalente ao seguinte cilindro circular reto:


Cilindro circular reto de raio 3 cm

Logo, o volume V do tronco é:


Resposta:

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

As medidas das geratrizes maior e menor de um tronco de cilindro de revolução são, respectivamente, 10 cm e 8 cm. Determine a medida do raio da secção reta, sabendo que a área lateral do tronco de cilindro mede 54 cm^2.




Resolução:
A medida do raio a ser encontrado é do seguinte tronco de cilindro:

Assim, o raio r, usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é: 

Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm