Phi ao Quadrad$\phi ^{2}$

U. E. Londrina PR | Na figura ao lado, a aresta do cubo maior mede $a$, e os outros cubos foram construídos de modo que a medida da respectiva aresta seja a metade da aresta do cubo anterior. Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma dos volumes de todos os cubos será: 
a) $0$       b) $\frac{a^{3}}{2}$         c) $\frac{7a^{3}}{8}$        d)$\frac{8a^{3}}{7}$       e)$2a^{^{3}}$
Solução:
Encontrando os volumes dos primeiros cubos, vamos ter:
1º $a^{^{3}}$ 2º $\left ( \frac{a}{2} \right )^{3} = \frac{a^{3}}{8}$ 3º $\left ( \frac{a}{4} \right )^{3} = \frac{a^{3}}{64}$ 4º $\left ( \frac{a}{8} \right )^{3} = \frac{a^{3}}{512}$ . . .
Percebemos que se trata de uma P. G. decrescente. Para encontrar o volume pedido, iremos recorrer a fórmula da soma de uma P.G. infinita que é $S_{\infty }=\frac{a_{1}}{1 -q}$, onde $a_{1} = a^{3}$ Mas antes precisamos encontrar a razão $q$. Para isto iremos dividir o segundo termo pelo primeiro. Assim, temos:

$q =\frac{\frac{a^{3}}{8}}{a^{3}} = \frac{…

A altura de um cilindro reto é igual ao triplo do raio da base. Calcule a área lateral, sabendo que seu volume é 46 875  $\pi$ $cm^{3}$.
Solução:


A fórmula da área lateral de um cilindro reto é $2\pi r\cdot h$
Sabemos, pelo enunciado que h = 3r. Como sabemos o volume, vamos usar sua fórmula para encontrar o valor de r, para em seguida, substituir na fórmula da área lateral.
$\pi r^{2}\cdot h = V_{cilindro} \rightarrow$ $\pi r^{2}\cdot 3r = 46785\pi  \rightarrow$ $3r^{3}  = 46875 \rightarrow$ $r^{3}  = \frac{46875}{3} \rightarrow$ $r^{3}  = 15625 \rightarrow$ $r= \sqrt[3]{15625}\rightarrow$ $r=25$
Agora que descobrimos o valor de $r$, vamos aplicá-lo na fórmula da área leteral.
$A_{lateral} = 2\pi r\cdot h$ $A_{l} = 2\pi r\cdot 3r\rightarrow$ $A_{l} = 2\pi \cdot 25\cdot 3\cdot 25\rightarrow$ $A_{l}=3750\pi$
Resposta: a área lateral de cilindro é 3 750 $\pi$ $cm^{2}$

Faap - SP | Um fabricante de caixa d'água pré-moldadas deseja fabricá-las na forma cilíndrica com dois metros de altura interna com capacidade de 2 000 litros. Então, o raio da base da caixa d'água, é igual a:
a) $2\sqrt{\pi }$      b) $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$       c) $\frac{10}{\sqrt{\pi }}$      d)$\sqrt{\pi }$      e) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\pi }}$  










2 000 litro = 
A fórmula do volume de um cilindro circular reto é $\pi r^{2}\cdot h$. Assim temos: $\pi r^{2}\cdot h = V \rightarrow$ $\pi r^{2}\cdot 2 = 2 \rightarrow$ $\pi r^{2} = 1 \rightarrow$ $r^{2} = \frac{1}{\pi }\rightarrow$ $r = \sqrt{\frac{1}{\pi }}\rightarrow$ $r = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\pi }} \rightarrow$ $r = \frac{1}{\sqrt{\pi }}$
Resposta: A medida do raio é $\frac{{1}}{\sqrt{\pi }}$ metros. letra b)

ITA - SP | O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo de cilindro. Então, a área total do cilindro, em $m^{2}$, vale:
a) $\frac{3\pi ^{2}}{4}$        b) $\frac{9\pi \left ( 2 + \pi  \right )}{4}$     c) $\pi \left ( 2 + \pi  \right )$        d) $\frac{\pi ^{2}}{2}$      e)$\frac{3\pi \left ( \pi + 1 \right )}{2}$

Solução:

A área da secção é dada por base x altura. A base b da secção é igual ao diâmetro d do cilindro. Logo, $A_{sec}= b\cdot h = d\cdot h = 3h$
Como a área da secção é igual a área da base do cilindro, vamos igualar as duas para encontrar o valor de h. Em seguida colocaremos o valor encontrado na fórmula da área total do cilindro.Assim temos: 

A área total é:
$A_{total} = A_{lateral} + 2A_{base}$ $\rightarrow A_{t} = 2\pi r\cdot h + 2 \cdot \pi r^{2}$  $\rightarrow A_{t} = 2\pi \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{4}\pi + 2\pi \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}$ $\rightarrow A_{t…

U. F. Juiz de Fora-MG - Aumentando-se o raio de um cilindro em 4 cm e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual a área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1 cm, então o raio mede, em cm:
a) 1              b) 2                  c) 4                 d) 6
Solução:


$A_{lateral}$ do novo cilindro é igual a $A_{total}$ do cilindro original. 
Área lateral do novo cilindro é
Área total do cilindro original é a área lateral mais vezes duas a área da base:
Assim, temos:
Resposta: O raio mede 2 cm. letra b)

U. E. Londrina-PR - Dois recipiente cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém  água até $\frac{1}{5}$ de sua capacidade.  Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de:
a) 32 cm        b) 24 cm       c) 16 cm       d) 12 cm       e) 10 cm


Solução:
Como sabemos que as alturas são 40 cm e o raio do maior mede 10 cm, primeiro iremos encontrar $\frac{1}{5}$ de seu volume e em seguida, com o valor obtido, igualaremos a fórmula do volume no segundo para encontrar h. Assim temos:
$\frac{1}{5}\cdot \pi r^{2} = \frac{1}{5}\cdot 10^{2}\cdot 40 \pi= \frac{1}{5}\cdot 4000 \pi = 800 \pi$
O maior contém $800  cm^{3}$ de água. Igualando este valor no recipente menor, vamos ter:
$\pi r^{2} h=800\pi \rightarrow 5^{2}h=800 \rightarrow 25h=800\rightarrow h=\frac{800}{25} \rightarrow h = 32$
Resposta: A água despejada no recipiente menor alcança uma altura de 32 cm. letra a)

PUC-SP Um cilindro é equivalente - mesmo volume - a uma pirâmide regular de base quadrada. O raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$. Sabendo-se que o cilindro e a pirâmide têm alturas iguais, então o raio da base do cilindro é:
a) $\pi$      b) $\frac{\pi }{2}$     c) 1       d) $\frac{1}{2}$      e) Nenhuma das anteriores está correta

Solução:
O Volume da pirâmide é $V_{p}=\frac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h$. A área da base $A_{b}$  é o lado ao quadrado $l^{2}$. Como o raio da circunferência inscrita na base da pirâmide é $R = \frac{\sqrt{3\pi }}{2}$, o lado mede $2\frac{\sqrt{3\pi }}{2}\rightarrow l=\sqrt{3\pi }$ 
Assim, sabendo que a pirâmide e o cilindro tem volume e alturas iguais, vamos ter:
$\pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}A_{b}\cdot h$ $\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot l^{2} \cdot h$  $\rightarrow \pi r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\sqrt{3\pi }^{2} \cdot h$  $\rightarrow \pi r^{2}=\frac{1}{3}\cdot 3\pi$  $\rightarrow r^{2}=1$ $\rightarrow r…

Calcule a razão $\frac{A_{l}}{A_{t}}$, onde $A_{l}$ é a área lateral e $A_{t}$ é a área total de um cilindro equilátero de raio da base R.

Solução:
Como em um cilindro equilátero a altura é igual a duas vezes o raio, vamos ter:  $A_{l} = 2\pi rh \rightarrow A_{l}= 2\pi R\cdot 2R \rightarrow A_{l}=4\pi R^{2}$
A área total é a lateral mais duas vezes a área da base. Assim:  $A_{t}=A_{l}+2B \rightarrow A_{t}=4\pi R^{2}+2\pi R^{2}\rightarrow A_{t}=6\pi R^{2}$
Logo,$\frac{A_{l}}{A_{t}} = \frac{4\pi R^{2}}{6\pi R^{2}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ 
Resposta:$\frac{A_{l}}{A_{t}} =\frac{2}{3}$