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Um tubo de vidro, com formato de cilindro circular reto... Resposta comentada

(Fatec-SP) Um tubo de vidro, com formato de cilindro circular reto, é graduado com uma escala e está cheio de água até a borda. Veja as figuras. O diâmetro interno do tubo é 5 cm. Inclinando-o paulatinamente, despeja-se a água nele contida até que atinja a marca que dista da borda $\frac{8}{\pi }$ cm. O volume da água despejada é: 


cilindro reto





a) $25 cm^{3}$          b) $50 cm^{3}$          c)$75 cm^{3}$          d)$100 cm^{3}$          e)$125 cm^{3}$




Resolução:


Perceba que o volume de água despejado é equivalente a um tronco de cilindro onde $G = \frac{8}{\pi }cm$, $g = 0$ e $raio = \frac{5}{2}$

Aplicando estes valores na fórmula do volume do tronco de cilindro

$V_{tc} = \frac{\pi r^{2}(G + g)}{2}$

temos:

$V = \frac{(\frac{5}{2})^{2}\pi (\frac{8}{\pi }+0)}{2}   \rightarrow  V = \frac{\frac{25}{4}\pi\cdot \frac{8}{\pi } }{2} \rightarrow  V = \frac{25\cdot 2}{2} \rightarrow V = 25$


Logo, o volume da água despejada é de $25 cm^{3}$. Letra a)

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Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um plano β intercepta todas as geratrizes de um cilindro circular reto e forma com o plano α de uma base do cilindro um ângulo de 45°(conforme figura).


O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior emenor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco.

Resolução:
Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo.

Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais.
Logo, o diâmetro será:
Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm
E como o raio é igual a  Diâmetro/2,temos:
Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro.

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 10 cm, contém um certo volume de água. Inclinando o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual é o volume da água contida no copo?


Resolução:
O volume da água é o volume do seguinte tronco de cilindro circular reto de base circular:

Esse tronco é equivalente ao seguinte cilindro circular reto:


Cilindro circular reto de raio 3 cm

Logo, o volume V do tronco é:


Resposta:

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

As medidas das geratrizes maior e menor de um tronco de cilindro de revolução são, respectivamente, 10 cm e 8 cm. Determine a medida do raio da secção reta, sabendo que a área lateral do tronco de cilindro mede 54 cm^2.




Resolução:
A medida do raio a ser encontrado é do seguinte tronco de cilindro:

Assim, o raio r, usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é: 

Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm