Phi ao Quadrad$\phi ^{2}$

(Mackenzie-SP) A altura de um cilindro é 20 cm. Aumentado-se 5 cm o raio da base desse cilindro, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro. O raio da base do primeiro cilindro é igual a:
a) 10 cm          b) 8 cm          c) 12 cm          d) 5 cm          e) 6 cm

Resolução:


A fórmula da área lateral de um cilindro é: Assim, a área lateral do novo cilindro fica: Por sua vez, a área total do cilindro tem a seguinte fórmula:
Logo, para área total do primeiro, temos:

De acordo com o enunciado, aumentado-se 5 cm o raio da base desse cilindro, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro. Logo:
Resposta correta: a) 10 cm

Um cilindro equilátero tem volume V. Calcule o raio da base desse cilindro, em função de V.

Resolução:

Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado; portanto, temos h = 2R O volume de um cilindro é: $V = \pi r^{2}\cdot h$
Calculando o raio R em função do volume V, do cilindro dado, vamos ter:
$\pi R^{2}\cdot h=V\rightarrow \pi R^{2}\cdot 2R=V\rightarrow 2R^{3}\pi =V\rightarrow R^{3}=\frac{V}{2\pi }\rightarrow \mathbf{R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}$

Calcule a medica da área lateral e do volume de um tronco de cilindro de revolução cuja área da base mede $36\pi  cm^{2}$, sendo seu eixo igual ao diâmetro da base.

Resolução:

Primeiro, através da área base, já que o enunciado deu o seu valor, vamos encontrar o raio.
$\pi r^{2}= 36\pi \rightarrow r^{2}=36\rightarrow r=\sqrt{36}\rightarrow r=6$
A questão diz que o eixo e e o diâmetro D são iguais. O raio r mede 6 cm. Logo, o diâmetro, que é duas vezes o raio, e o eixo medem 12 cm. A fórmula da área lateral é:
$A_{l}= 2\pi r\cdot \frac{G+g}{2}$
$\frac{G+g}{2}$ é igual ao eixo e. Logo:

Por sua vez, o volume é dado por:
$V=\pi r^{2}\cdot \frac{G+g}{2}$
Então, temos
$V = \pi 6^{2}\cdot 12 = 432$

Resposta: $A_{lateral}=144\pi cm^{2}$ e $Volume = 432\pi  cm ^{3}$

O Volume de um tronco de cilindro circular reto é de $45\pi cm^{3}$. Calcule a medida do raio de uma secção reta desse tronco, sabendo que tem geratriz maior e menor medindo 8 cm e 2 cm.


Resolução:


O volume de um tronco de cilindro tem a seguinte fórmula:
$V_{tc}= \frac{\pi r^{2}\left ( G + g \right )}{2}$
Sabemos que a geratriz maior G = 8 cm e a menor g = 2 cm. Colocando estes valores na fórmula, temos: $\frac{\pi r^{2}\left ( 8 + 2 \right )}{2}= 45\pi \Rightarrow  \frac{10\pi r^{2}}{2} = 45\pi  \Rightarrow 5\pi r^{2} = 45\pi \Rightarrow r^{2}= \frac{45}{5}\Rightarrow r^{2}=9 \Rightarrow r = \sqrt{9} \Rightarrow r = 3$
Resposta: a medida do raio é igual a 3 cm

Um recipiente sob a forma de um cilindro reto está repleto de vinho. Esse vinho deve ser distribuído em copos cilíndricos, possuindo, cada um, altura igual a $\frac{1}{8}$ da altura do recipiente e diâmetro da base igual a $\frac{1}{5}$ do diâmetro da base do recipiente. Quantos copos serão necessários?
Resolução:


A fórmula do volume do cilindro circular reto é:
$V_{cilindro}= \pi r^{2}h$
Onde r = raio e h = altura
O volume do recipiente é:
$V_{r}= \pi \left ( \frac{D}{2}^{2} \right )H \rightarrow V_{r}=\frac{D^{2}\pi H}{4}$
Por sua vez, o volume de cada copo é:
$V_{c}= \pi \left ( \frac{D}{10} \right )^{2}\cdot \frac{H}{8}\rightarrow V_{c}= \frac{D^{2}\pi H}{800}$

Ora, se dividirmos o volume do recipiente pelo volume do copo, descobriremos quantos desses copos sarão necessários. Então, temos:
$\frac{\frac{D^{2}\pi H}{4}}{\frac{D^{2}\pi H}{800}} = \frac{D^{2}\pi H}{4}\cdot \frac{800}{D^{2}\pi H} = \frac{800}{4} = 200$
Resposta: serão necessários 200 copos

(Fatec-SP) Um tubo de vidro, com formato de cilindro circular reto, é graduado com uma escala e está cheio de água até a borda. Veja as figuras. O diâmetro interno do tubo é 5 cm. Inclinando-o paulatinamente, despeja-se a água nele contida até que atinja a marca que dista da borda $\frac{8}{\pi }$ cm. O volume da água despejada é: 





a) $25 cm^{3}$          b) $50 cm^{3}$          c)$75 cm^{3}$          d)$100 cm^{3}$          e)$125 cm^{3}$



Resolução:

Perceba que o volume de água despejado é equivalente a um tronco de cilindro onde $G = \frac{8}{\pi }cm$, $g = 0$ e $raio = \frac{5}{2}$
Aplicando estes valores na fórmula do volume do tronco de cilindro
$V_{tc} = \frac{\pi r^{2}(G + g)}{2}$
temos:
$V = \frac{(\frac{5}{2})^{2}\pi (\frac{8}{\pi }+0)}{2}   \rightarrow  V = \frac{\frac{25}{4}\pi\cdot \frac{8}{\pi } }{2} \rightarrow  V = \frac{25\cdot 2}{2} \rightarrow V = 25$

Logo, o volume da água despejada é de $25 cm^{3}$. Letra a)

(Mackenzie-SP) A altura de um cilindro é 20 cm. Aumentando-se 5 cm o raio da base desse cilindro, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro. O raio da base do primeiro cilindro é igual a:
a) 10 cm            b) 8 cm           c) 12 cm           d) 5 cm           e) 6 cm

Resolução:
Com h = 20 cm, temos os seguintes cilindros:



A área lateral do cilindro circular reto é  $A_{l}= 2\pi rh$  e a área total  $A_{t}=2\pi r(h + r)$
Então, temos:
$2\pi (r + 5)20 = 2\pi r(r + 20)     \rightarrow    (r + 5)20 = r(r + 20)   \rightarrow    20r + 100 = r^{2} + 20r   \rightarrow    r^{2} = 100   \rightarrow    r = \sqrt{100}   \rightarrow    r = 10$
O raio da base do primeiro cilindro é igual a 10 cm. letra a

(UFPE) Na ilustração abaixo, temos um cilindro reto, medindo 30 cm de altura, preenchido por um líquido até certa altura e apoiado em uma superfície horizontal. Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da base e B e C estão em uma mesma geratriz do cilindro. Quando inclinamos o cilindro, mantendo o ponto B na superfície, até que o nível de líquido esteja no ponto A, o nível em C fica a 10 cm do ponto B. Qual a altura do líquido quando o cilindro está na vertical?

Embora os Elementosseja seu trabalho mais importante (e na verdade a obra da geometria mais importante em toda a história), Euclides escreveu vários outros tratados de geometria, sendo que se tem conhecimento de cerca de oito deles. De acordo com Eves, Assim que os Elementos apareceu,ganhou o mais alto respeito e, dos sucessores de Euclides até os tempos modernos, a mera citação do número de um livro e o de uma proposição de sua obra-prima é suficiente para identificar um teorema ou construção particular. Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. Mais de mil edições impressas dos Elementos já aparecem desde a primeira delas em 1482; por mais de dois milênios este trabalho dominou o ensino da geometria. (EVES, 1992, p.167,168)