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Mostrando postagens de Novembro, 2018

O curioso pedido de Arquimedes

A obra Sobre a Esfera e o Cilindro de Arquimedes apresenta a coincidente razão entre as áreas de uma esfera e do cilindro circunscrito a essa esfera e entre seus volumes.   Segundo Garbi (2009) “Inscrevendo uma esfera em um cilindro equilátero ele mostrou que a área total e o volume do cilindro são, respectivamente, 3/2 da área e do volume da esfera.” Garbi   (2009,  p.90) , Isto fez ele enunciar o seguinte teorema: “O cilindro é uma vez e meia a esfera, em área e volume.” Ainda segundo Garbi (2009) Arquimedes considera esta a mais bela descoberta, tanto que pediu que, quando morresse, sobre seu túmulo fossem gravados um cilindro e uma esfera nela inscrita, acompanhados da relação 3/2 que os une. Cilindro circunscrito na esfera 

Tronco de cilindro na arquitetura | Planetário Tycho Brahe

Planetário Tycho Brahe  O planetário Tycho Brahe, localizado Copenhague, foi construído em 1988 pelo arquiteto dinamarquês Knud Munk. Seu nome é em homenagem ao famoso astrônomo dinamarquês e alquimista do século XVI, Tycho Brahe. Este astrônomo, sem um telescópio, descobriu uma nova estrela na constelação de Cassiopéia. Por fora, o que mais chama a atenção é seu formato em forma de um tronco cilíndrico.

Área da base do cilindro para os babilônios

P ara os babilônicos, de acordo Eves (1992), a circunferência de um círculo era tomada como sendo o triplo do diâmetro e sua área 1/12 do quadrado de sua circunferência (ambas medidas corretas para π = 3 ): Assim, o volume do cilindro circular reto era obtido fazendo-se o produto da base pela altura.

Os babilônios e o valor para π (pi)

O s babilônios conheciam a área do retângulo, do triângulo retângulo e também do trapézio, o volume de um paralelepípedo e o volume do cilindro. Tinham um valor para de π = 3 , embora tenha sido encontrada em algumas tabuletas estimativas de π = 3 1/8   = 3,125 .  No entanto, considerando a complexidade desta expressão, dificilmente ela teria sido obtida de maneira puramente empírica, e é de se supor que algum trabalho teórico tenha sido feito.   Entre os resultados dessas ciências antigas, podem-se citar versões do teorema de Pitágoras, desenvolvido pelos egípcios e babilônios 1500 anos antes dos pitagóricos, uma tabela de trigonometria desenvolvida pelos babilônios e o volume exato de uma pirâmide truncada. As pirâmides egípcias e os planos de irrigação apresentam um conhecimento pelo menos empírico das figuras planas e sólidas.

Os egípcios e a fórmula para o volume do cilindro

Papiro de Rhind – Museu Britânico U m dos primeiros registros encontrado sobre o cilindro está no Papiro de Rhind. Nele encontramos a fórmula para o cálculo do volume de um silo cilíndrico. Dados o diâmetro e  a altura, volume era dados por:

Tronco de cilindro | exercício respondido

N a figura abaixo representamos dois planos α e β, cuja intersecção é a reta r e o ângulo entre eles é 45°; uma reta s, perpendicular ao plano α, tal que a distância entre as retas r e s é igual a 40 cm e um e um cilindro de raio 5 cm, cujo eixo é a reta s. Determine o volume do tronco do cilindro, limitado pelos planos α e β. Cilindro e dois planos   Resolução Ao retirar os planos, temos o seguinte tronco de cilindro circular reto: Tronco de cilindro de raio 5 cm   Determinar o volume do tronco acima é equivalente a encontrar o volume do seguinte cilindro: Cilindro reto de raio 5 cm  Para saber seu volume, precisa-se saber o valor de G e g . Analisando a figura do enunciado, temos: Semelhança de triângulo

Tronco de cilindro | Exercício respondido

    C ada uma das faces de um diedro de 60° intercepta todas as geratrizes de um cilindro circular reto, determinando um tronco em que a geratriz maior e menor medem 12 cm e 6 cm . Essas geratrizes formam com as faces do diedro ângulos de 60° (conforme a figura). Calcule o volume desse tronco. Dois planos cortando um cilindro  Resolução Retirando o plano temos um tronco de cilindro circular reto, como mostrado na figura abaixo.   Tronco de cilindro circular reto de raio r Esse tronco é equivalente a um cilindro de altura 9 cm. Cilindro circular reto de altura 9 cm  Para saber o valor do raio vamos voltar ao enunciado. Triângulo equilátero 

Tronco de cilindro | Exercício resolvido

U ma tora de madeira sob a forma de um tronco de cilindro circular reto, em que a geratriz maior e menor medem 5 m e 3 m, tem volume 4 . Calcule o raio de uma secção reta dessa tora. Tronco de cilindro cortado por dois planos  Resolução O tronco acima é equivalente ao seguinte cilindro: Tronco cortado por dois planos e cilindro circular reto

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um plano β intercepta todas as geratrizes de um cilindro circular reto e forma com o plano α de uma base do cilindro um ângulo de 45° (conforme figura). Cilindro seccionado por um plano O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior e menor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco. Resolução: Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo. Vista lateral de um cilindro seccionado por um plano Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais. Semelhança de triângulo Logo, o diâmetro será: Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm E como o raio é igual a   Diâmetro/2 , temos: Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro. Tronco de cilindro de raio 2 cm

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 10 cm, contém um certo volume de água. Inclinando o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual é o volume da água contida no copo? Cilindro inclinado Resolução: O volume da água é o volume do seguinte tronco de cilindro circular reto de base circular: Tronco de cilindro de raio 3 cm Esse tronco é equivalente ao seguinte cilindro circular reto: Cilindro circular reto de raio 3 cm Logo, o volume V do tronco é: Resposta:

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

As medidas das geratrizes maior e menor de um tronco de cilindro de revolução são, respectivamente, 10 cm e 8 cm . Determine a medida do raio da secção reta, sabendo que a área lateral do tronco de cilindro mede 54 cm^2 . Resolução: A medida do raio a ser encontrado é do seguinte tronco de cilindro: Tronco de cilindro Assim, o raio r , usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é:  Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm

Área lateral e volume de um tronco de cilindro

Dado um tronco de cilindro circular reto de raio r e eixo e , podemos obter um cilindro circular reto que lhe é equivalente e tem mesma área lateral Tronco de cilindro Assim, para a área lateral do tronco do cilindro tem-se: E para o volume:

Raio maior da parte seccionada de um tronco de cilindro

Raio maior da parte seccionada de um tronco de cilindro Usando Pitágoras no triângulo ∆ABC ,   teremos:

Altura média do tronco do cilindro

Altura média do tronco do cilindro Destacando o ∆ABC   e o ∆BCD , vamos ter: Altura média do tronco do cilindro Fazendo semelhança de triângulo no primeiro, temos: E no segundo. Como a altura média é o segmento EO'    mais o segmento  EO , vamos ter:  

Dezenas de bandeiras no Cubo Mágico