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Mostrando postagens de Novembro, 2018

O curioso pedido de Arquimedes

A obra Sobre a Esfera e o Cilindro de Arquimedes apresenta a coincidente razão entre as áreas de uma esfera e do cilindro circunscrito a essa esfera e entre seus volumes.  Segundo Garbi (2009) “Inscrevendo uma esfera em um cilindro equilátero ele mostrou que a área total e o volume do cilindro são, respectivamente,3/2 da área e do volume da esfera.” Garbi(2009,  p.90), Isto fez ele enunciar o seguinte teorema: “O cilindro é uma vez e meia a esfera, em área e volume.” Ainda segundo Garbi (2009) Arquimedes considera esta a mais bela descoberta, tanto que pediu que, quando morresse, sobre seu túmulo fossem gravados um cilindro e uma esfera nela inscrita, acompanhados da relação 3/2 que os une.



Tronco de cilindro na arquitetura | Planetário Tycho Brahe

O planetário Tycho Brahe, localizado Copenhague, foi construído em 1988 pelo arquiteto dinamarquês Knud Munk. Seu nome é em homenagem ao famoso astrônomo dinamarquês e alquimista do século XVI, Tycho Brahe. Este astrônomo, sem um telescópio, descobriu uma nova estrela na constelação de Cassiopéia. Por fora, o que mais chama a atenção é seu formato em forma de um tronco cilíndrico.

Área da base do cilindro para os babilônios

Para os babilônicos, de acordo Eves (1992), a circunferência de um círculo era tomada como sendo o triplo do diâmetro e sua área 1/12 do quadrado de sua circunferência (ambas medidas corretas para π = 3): Assim, o volume do cilindro circular reto era obtido fazendo-se o produto da base pela altura.

Os babilônios e o valor para π (pi)

Os babilônios conheciam a área do retângulo, do triângulo retângulo e também do trapézio, o volume de um paralelepípedo e o volume do cilindro. Tinham um valor para de π = 3, embora tenha sido encontrada em algumas tabuletas estimativas de π = 3 1/8= 3,125. 
No entanto, considerando a complexidade desta expressão, dificilmente ela teria sido obtida de maneira puramente empírica, e é de se supor que algum trabalho teórico tenha sido feito.Entre os resultados dessas ciências antigas, podem-se citar versões do teorema de Pitágoras, desenvolvido pelos egípcios e babilônios 1500 anos antes dos pitagóricos, uma tabela de trigonometria desenvolvida pelos babilônios e o volume exato de uma pirâmide truncada. As pirâmides egípcias e os planos de irrigação apresentam um conhecimento pelo menos empírico das figuras planas e sólidas.

Os egípcios e a fórmula para o volume do cilindro

Um dos primeiros registros encontrado sobre o cilindro está no Papiro de Rhind. Nele encontramos a fórmula para o cálculo do volume de um silo cilíndrico. Dados o diâmetro e  a altura, volume era dados por:


Tronco de cilindro | exercício respondido

Na figura abaixo representamos dois planos α e β, cuja intersecção é a reta r e o ângulo entre eles é 45°; uma reta s, perpendicular ao plano α, tal que a distância entre as retas r e s é igual a 40 cm e um e um cilindro de raio 5 cm, cujo eixo é a reta s. Determine o volume do tronco do cilindro, limitado pelos planos α e β.



Resolução
Ao retirar os planos, temos o seguinte tronco de cilindro circular reto:


Determinar o volume do tronco acima é equivalente a encontrar o volume do seguinte cilindro:



Para saber seu volume, precisa-se saber o valor de G e g. Analisando a figura do enunciado, temos:




Tronco de cilindro | Exercício respondido

Cada uma das faces de um diedro de 60° intercepta todas as geratrizes de um cilindro circular reto, determinando um tronco em que a geratriz maior e menor medem 12 cm e 6cm. Essas geratrizes formam com as faces do diedro ângulos de 60° (conforme a figura). Calcule o volume desse tronco.



Resolução
Retirando o plano temos um tronco de cilindro circular reto, como mostrado na figura abaixo. Esse tronco é equivalente a um cilindro de altura 9 cm.

Para saber o valor do raio vamos voltar ao enunciado.






Tronco de cilindro | Exercício resolvido

Uma tora de madeira sob a forma de um tronco de cilindro circular reto, em que a geratriz maior e menor medem 5 m e 3 m, tem volume 4. Calcule o raio de uma secção reta dessa tora.



Resolução
O tronco acima é equivalente ao seguinte cilindro:




Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um plano β intercepta todas as geratrizes de um cilindro circular reto e forma com o plano α de uma base do cilindro um ângulo de 45°(conforme figura).


O tronco de cilindro limitado pelos planos α e β tem geratriz maior emenor medindo 20 cm e 16 cm. Calcule o volume desse tronco.

Resolução:
Primeiro vamos encontrar o raio do cilindro. Iremos fazer isto por semelhança de triângulo. A imagem acima vista de perfil ficam bem visíveis dois triângulos, como destacado nas figuras abaixo.

Como os triângulos são isósceles, os dois catetos, de cada triângulo, são iguais.
Logo, o diâmetro será:
Diâmetro = 20 cm – 16 cm = 4cm
E como o raio é igual a  Diâmetro/2,temos:
Sabendo do valor do raio, agora aplicaremos a fórmula do tronco de cilindro.

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 10 cm, contém um certo volume de água. Inclinando o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual é o volume da água contida no copo?


Resolução:
O volume da água é o volume do seguinte tronco de cilindro circular reto de base circular:

Esse tronco é equivalente ao seguinte cilindro circular reto:


Cilindro circular reto de raio 3 cm

Logo, o volume V do tronco é:


Resposta:

Exercício respondido sobre tronco de cilindro

As medidas das geratrizes maior e menor de um tronco de cilindro de revolução são, respectivamente, 10 cm e 8 cm. Determine a medida do raio da secção reta, sabendo que a área lateral do tronco de cilindro mede 54 cm^2.




Resolução:
A medida do raio a ser encontrado é do seguinte tronco de cilindro:

Assim, o raio r, usando a fórmula da área lateral  do tronco de cilindro é: 

Resposta: a medida do raio da secção reta é igual 3 cm

Área lateral e volume de um tronco de cilindro

Dado um tronco de cilindro circular reto de raio r e eixo e, podemos obter um cilindro circular reto que lhe é equivalente e tem mesma área lateral



Assim, para a área lateral do tronco do cilindro tem-se:



E para o volume:


Raio maior da parte seccionada de um tronco de cilindro

Usando Pitágoras no triângulo ∆ABC, teremos:


Altura média do tronco do cilindro

Destacando o ∆ABC  e o ∆BCD, vamos ter:



Fazendo semelhança de triângulo no primeiro, temos:

Dezenas de bandeiras no Cubo Mágico