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Dois cubos $C_{1}$ e $C_{2}$ são tais que a aresta de $C_{1}$ é igual a diagonal de $C_{2}$. Se $V_{1}$ e $V_{2}$ são, respectivamente,... Resposta comentada.

UF-PE - Dois cubos $C_{1}$ e $C_{2}$ são tais que a aresta de $C_{1}$ é igual a diagonal de $C_{2}$. Se $V_{1}$ e $V_{2}$ são, respectivamente, os volumes dos cubos de $C_{1}$ e $C_{2}$, então, a razão $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ é igual a:a) $\sqrt[3]{3}$      b) $\sqrt{27}$      c) $\frac{1}{\sqrt{27}}$      d) $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$      e) $\sqrt[3]{9}$
Solução:


Volume de $C_{1} = (a\sqrt{3})^{3}$ e o Volume de $C_{2} = a^{3}$. Logo:



Resposta correta: letra b)




Multiplica-se por k a altura e o raio de um cilindro de revolução... Resposta comentada

Multiplica-se por k a altura e o raio de um cilindro de revolução. Como se modifica a sua área lateral? 
Solução:

A área lateral de um cilindro de revolução é calculado pela seguinte fórmula: $2\pi rh$Multiplicando o raio $r$ e a altura $h$ por $k$, a área lateral deste cilindro será:$2\pi rk\cdot hk \rightarrow 2\pi rhk^{2}$Logo, a área lateral aumenta $\mathbf{{\color{Red} k^{{\color{Red} 2}}}}$ vezes.

Determine o volume de um cilindro reto de raio r... Resposta comentada

Determine o volume de um cilindro reto de raio $r$, sabendo que sua área total é igual à área de um círculo de raio $5r$Solução:
O volume $V$ de um cilindro reto é dado pela fórmula $V = \pi r^{2}\cdot h$

De acordo com o enunciado, a área total desse cilindro de raio $r$ e altura $h$ é igual a área de um círculo de raio $5r$. Logo:
$2\pi r(h+r)= \pi (5r)^{2}$
Desenvolvendo a igualdade a cima para encontrar $h$ em função de $r$, temos:
$2\pi r(h+r)= \pi (5r)^{2}$ $\rightarrow 2r(h+r)= 25r^{2}$ $\rightarrow h + r = \frac{25r^{2}}{2r}$ $\rightarrow h+r = \frac{25r}{2}$ $\rightarrow h = \frac{25r}{2}-r$  $\rightarrow h = \frac{25r - 2r}{2}$ $\rightarrow \mathbf{h = \frac{23r}{2}}$
Então, o volume do cilindro é:

Relação entre área e base de um triângulo

Sejam $C$, $D$ e $A$ três pontos colineares distintos. Dado que $\triangle BCD$ e $\triangle BDA$ possuem a mesma altura $h$, temos que:
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\triangle BCD}{\triangle BDA} = \frac{\frac{x\cdot h}{2}}{\frac{y\cdot h}{2}}= \frac{x}{y}$
Assim,  $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{x}{y}$
A mediana, além de dividir o lado, divide também a área ao meio.

$\frac{S_{1}}{x}=\frac{S_{2}}{x} \rightarrow S_{1}=S_{2}$
Demostração do teorema de Ceva utilizando relações entre áreas

$X = S_{APB}$          $Y = S_{BPC}$          $Z = S_{CPA}$

$(1) \rightarrow \frac{AG}{GB} = \frac{S_{CPA}}{S_{BPC}}= \frac{Z}{Y} $
$(2) \rightarrow \frac{BE}{EC} = \frac{S_{APB}}{S_{CPA}}= \frac{X}{Z}$
$(3) \rightarrow \frac{CF}{FA} = \frac{S_{BPC}}{S_{APB}}= \frac{Y}{X}$

Efetuando as multiplicações, membro a membro, das relações (1), (2) e (3), temos:
$\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=\frac{Z}{Y}\cdot \frac{X}{Z}\cdot \frac{Y}{X}$
Assim obtemos a expressão desejada
$\frac{AG}{GB}\cdot \frac{BE}{EC}\c…

Supondo-se que certa pizza no formato circular com perímetro de 94,2cm... Resposta comentada

Objetiva-2019 | Supondo-se que certa pizza no formato circular com perímetro de 94,2cm foi cortada em três pedaços de mesmo tamanho cada. Sendo assim, assinalar a alternativa que apresenta a área de cada pedaço dessa pizza: (Usar π = 3,14)
A) $31,4cm^{2}$     B) $188,4cm^{2}$     C) $235,5cm^{2}$     D) $376,8cm^{2}$

Solução:
Primeiro, utilizando a fórmula do perímetro de uma circunferência, vamos encontrar o raio da pizza.
$2\pi r = perímetro$ $2\pi r = 94,2$ $r = \frac{94,2}{2\pi }$ $r = \frac{47,1}{\pi }cm$
Agora que encontramos o valor do raio, vamos aplicá-lo na fórmula da área da circunferência. Assim temos: 
$A = \pi r^{2}$ $A = \pi \left ( \frac{47,1}{\pi } \right )^{2}$ $A = \pi\cdot \frac{2218,41}{\pi ^{2}}$
$Area = \frac{2218,41}{\pi}cm^{2}$
Dividindo a área por 3, já que ela foi dividida em três partes iguais, cada pedaço tem área igual a:
$\frac{\frac{2218,41}{\pi}}{3} = \frac{2218,41}{\pi }\cdot \frac{1}{3} = \frac{2218,41}{3\pi }cm^{2}$
Como a questão pediu para usar $\pi = 3,14$, vam…

Sequência de Fibonacci e Arte

A sequência de Fibonacci é a série de números:  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. 
Como o φ é meu número preferido, gosto de matemática e também sempre admirei as pinturas, fiz algumas artes 😊🎨 com o espiral que é formado pela sequência de Fibonacci com o auxílio do GeoGebra.


Artes com o Espiral de Fibonacci - Amóes Xavier





Artes com a Sequência de Fibonacci - Pintura

Por representar a divina proporção, a Sequência de Fibonacci é muito utilizada no design, na arte, na arquitetura, no tamanho dos cartões de créditos, das caixas de cigarro e dos outdoors.  Curiosamente, o número de ouro está inserido em tudo que podemos imaginar: seres humanos, músicas, natureza, arquitetura, etc. Veja algumas pinturas desta bela sequência na forma de espiral.









Fonte: Etsy

Dezenas de bandeiras no Cubo Mágico